ほとばしる熱いパトス

おはこんばんちは、ハトスです！

…ふいに、かつて呼ばれたあだ名を思い出しまた。

私、髪の毛が大変な癖毛でして…昔、髪の毛も長くて一歩間違えばアフロヘアーになるような髪だった頃に、先輩に「鳩巣！」と呼ばれたものでした。。

さぁ、強引なタイトルと前置きからの、今日は「鳩の巣原理」についてのお話です。

そんなふざけた名前の原理が数学にあんのか？って感じですが、あるんですよ。（もう少しお堅く言いたければ、部屋割り論法という言い方もあります。）

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鳩の巣原理

５羽の鳩が４つの巣箱に帰ってきた。すると、少なくとも１つの巣箱には必ず複数の鳩が入っている。

より一般的な書き方をすれば、「m個のものをn個のグループに分ける。m＞nが成立するならば、少なくとも１つのグループには複数のものが含まれる。」

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原理自体は非常に明確で、当たり前の内容なので、これがどうした？と思われるかもしれませんが、この原理を題材としてなかなか興味深い問題が作られるんですね。

１問解説してみましょう。

（今週の１問）

xy平面においてx座標、y座標が共に整数で与えられる点を格子点という。格子点を５つ考え、それらの中点を全て考えたとき、少なくとも１つの中点は格子点であることを示せ。

（解説）

抽象的でとっつきにくい問題です、こういう問題は具体的に考えることからスタートです。

例えばA(0,0),B(2,5),C(3,1),D(1,4),E(4,3)からなる５点を考えます。これなら、確かにBとEの中点が(3,4)となり、格子点です。

さて、気付きましたか？どういう時に中点が格子点になって、どういう時に格子点にならないか。中点は、いわば平均であるので、計算方法として「２つの座標を足して半分」します。

格子点、すなわち整数値になるのであれば、足した時の値が偶数であればいいのです。

つまり、注目すべきは偶奇なんです。では、足して偶数になるのは？

偶数＋偶数、奇数＋奇数のように偶奇が一致すれば良いですね。

さぁ、仕上げます。

格子点は

①(偶数,偶数)　②(偶数,奇数)　③(奇数,偶数)　④(奇数,奇数)

の４パターンに分別できる。ここで、５つの格子点を用意すれば、鳩の巣原理より少なくとも１つのパターンが被り、同じパターンの格子点が複数存在する。それらの格子点の中点は、偶数＋偶数＝奇数＋奇数＝偶数であることから、必ず格子点となる。

ということでした。

夏休みの間、鳩の巣原理を用いて問題を扱ってみましょうかね。

では来週。