2014

おはこんばんちは、ハラスです。

W杯が始まり、若干寝不足が続いております。（ブログを書いている今も4:00の試合が終わったとこです。笑）

今週のテーマは前々回のW杯が開催された年にちなんで「2014」です。

はて・・・2014年、私は何をしていただろうか・・・あまり記憶がないので（笑）、今週は2014という数字を用いて整数問題について解説してみましょう。

2014を素因数分解すると

となります。

問１．2014の約数の個数は？

（解）今回は約数が少ないので数えた方が楽そうですが、ちゃんと考えてみましょう。

上の素因数分解から

と表すことができ、a,b,cはそれぞれ0か1かの選択をできるので、

となります。

ちなみに、全てを書き出す場合、必ず以下のようにペアで考えていきましょう。（超大事）

問２．2014の約数の合計は？

（解）これも上に書いてあるのを足した方が速そうですが、上手くやりましょう。

例えば、2014の約数である19や1007は、当然、

のように表せます。なので・・・

という式を展開していけば全ての約数が登場してくれるはずですね。で、肝心の計算は（）の中身ごとに計算します。つまり、

となります。

さて、ここまでは参考書にも載っているような基本事項なのですが、次はどうでしょう。

問３．2014の約数の逆数の合計は？

（解）えぇ？上に約数が書いてはいますが、それら全てを逆数にして足すなんて・・・

実はこの問題を解決してくれるのがペアなのです。上のペアの式の１つを変形すると、

とできますよね。つまり逆数に2014をかけるとペアが登場です。

求める値をSとすれば、

（今回は個数が少ないので書きますね。

ですね。）

となります。

問４．2014の約数の全ての積は？

（解）言わずもがな、ペアを考えれば、

となります。

ふー。ペアの考えを使う問題としてオイラー関数の話があったりしますが、今日はここまで！